Связанные состояния системы двух бозонов на двумерной решетке

Рассматривается гамильтониан системы двух бозонов на двумерной решетке $\mathbb{Z}^2$. Оператор Шредингера $H(k_1,k_2)$ (где $\mathbf k=(k_1,k_2)$ – полный квазиимпульс) данной системы при $k_1=k_2=\pi$ имеет бесконечное число собственных значений. В случае потенциала определенного вида одно собственное значение является простым, другое – двукратным, а остальные собственные значения являются трехкратными. Доказано, что при малых $\beta>0$ для оператора $H(\pi,\pi-2\beta)$ двукратное собственное значение оператора $H(\pi,\pi)$ расщепляется на два невырожденных собственных значения, а трехкратные собственные значения расщепляются на три различных невырожденных собственных значения. Для этих собственных значений получены асимптотические формулы с точностью до $\beta^2$, а также явный вид собственных функций оператора $H(\pi,\pi-2\beta)$.