Представления алгебры $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ в категории $\mathcal O$ и мастер-симметрии

Показано, что неразложимые $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$-модули в категории $\mathcal O$ Бернштейна–Гельфанда–Гельфанда возникают естественным образом для однородных интегрируемых нелинейных эволюционных систем. Разработан новый метод, названный $\mathcal O$-схемой, построения мастер-симметрий для таких интегрируемых систем. Этот подход позволяет естественным образом рассчитать иерархию зависящих от времени симметрий. Эффективность метода проиллюстрирована классическими и новыми примерами. Проведено сравнение с существующими известными методами построения мастер-симметрий. С помощью мастер-симметрий построены сохраняющиеся плотности для новых интегрируемых уравнений, таких как уравнение типа Бенджамина–Оно, новое интегрируемое уравнение типа Деви–Стюартсона и две различные версии ($2+1$)-мерных обобщений цепочек Вольтерра.