Новый метод построения полуинвариантов и интегралов полной симметричной $\mathfrak{sl}_n$ решетки Тоды

Рассматривается полная симметричная форма представления матрицы оператора Лакса цепочки Тоды, которая известна как полная симметричная цепочка Тоды. Фазовое пространство этой системы – орбиты общего положения коприсоединенного действия борелевской подгруппы $B^+_n$ группы $SL_n(\mathbb R)$. Эта система является интегрируемой. Предложен новый метод построения полуинвариантов и интегралов полной симметричной цепочки Тоды. При помощи только уравнений движения системы для собственных векторов матрицы Лакса доказано существование полуинвариантов, которые являются плюккеровыми координатами в соответствующих проективных пространствах. Эти полуинварианты использованы для построения интегралов. Наш новый подход приводит к простым точным формулам для полного набора независимых полуинвариантов и интегралов, выражающихся в матричных элементах матрицы Лакса, а также в матричных элементах матриц собственных векторов и собственных значений полной симметричной цепочки Тоды без использования процедуры чоппинга и процедуры Костанта. Описана структура дополнительных интегралов движения как функций на пространстве флагов по модулю действия потоков Тоды и показано, как плюккеровы координаты различных проективных пространств определяют различные семейства дополнительных интегралов.