$W$-алгебры и высшие аналоги уравнения Книжника–Замолодчикова

При выводе уравнения Книжника–Замолодчикова в модели Весса–Зумино–Виттена ключевую роль играет тензор энергии-импульса, построенный по элементу Казимира второго порядка в универсальной обертывающей алгебре соответствующей алгебры Ли. Исследуется возможность построения аналогов уравнения Книжника–Замолодчикова на основе элементов Казимира высших порядков. Рассматриваются элемент Казимира третьего порядка для алгебры $\mathfrak{sl}_N$ и четвертого порядка для алгебры $\mathfrak{o}_N$. Доказано, что в первом случае такое построение невозможно, во втором удается получить искомое уравнение.