Точные решения одномерных уравнений мелкой воды над ровным и наклонным дном

Установлена эквивалентность систем уравнений одномерных моделей мелкой воды, описывающих распространение поверхностных волн над ровным и наклонным дном. Для каждой из этих систем получены формулы общего вида их невырожденных решений, которые выражаются через решения уравнения Дарбу. Найденные инвариантные решения уравнения Дарбу являются простейшими представителями существенно различных (не связанных обратимыми точечными преобразованиями) его точных решений. Они зависят от 21 произвольной вещественной постоянной и после применения формул “размножения”, полученных методами группового анализа, порождают 27-параметрическое семейство его существенно различных точных решений. Последующее использование выведенных инфинитезимальных формул “размножения” решений из этого семейства порождает счетное множество точных решений, а его линейная оболочка образует бесконечномерное векторное пространство решений уравнения Дарбу. В свою очередь, это векторное пространство решений уравнения Дарбу и общие формулы для невырожденных решений систем уравнений мелкой воды с ровным и наклонным дном дают бесконечное множество их решений. Далее формулы “размножения” для этих систем определяют их дополнительные невырожденные решения. Наконец, найдены все вырожденные решения этих систем. Тем самым создана база данных бесконечного множества точных решений систем уравнений одномерной нелинейной модели мелкой воды с ровным и наклонным дном.