Решения многомерных уравнений в частных производных, представимых в виде одномерного потока

Предложен алгоритм, с помощью которого $(M+1)$-мерное нелинейное уравнение в частных производных, представимое в виде одномерного потока, $u_t+w_{x_1}(u,u_{x},u_{xx},\dots)=0$ (где $w$ – произвольная локальная функция от $u$ и ее производных по $x_i$, $i=1,\dots,M$), сводится к семейству $M$-мерных нелинейных уравнений в частных производных $F(u,w)=0$, где $F$ – общее (или частное) решение некоторого двумерного нелинейного уравнения в частных производных второго порядка. В частности, $M$-мерное уравнение может оказаться обыкновенным дифференциальным уравнением, которое в некоторых случаях может быть проинтегрировано с получением явных решений исходного ($M+1$)-мерного уравнения. Кроме того, можно ввести спектральный параметр в функцию $F$, что приводит к линейному спектральному уравнению, связанному с исходным уравнением. Представлены простейшие примеры нелинейных уравнений в частных производных вместе с их явными решениями.