Дифференциально-геометрические аспекты неголономной механики Дирака: уроки квадратичной по скоростям модели

Л. Д. Фаддеев и А. М. Вершик предложили инвариантное с точки зрения дифференциальной геометрии описание механики со связями в гамильтоновой и лагранжевой ее формулировках. В обеих формулировках описание базируется на заданной на кокасательном расслоении $T^*Q$ (в гамильтоновой формулировке) или на касательном расслоении $TQ$ (в лагранжевой формулировке) невырожденной симплектической 2-форме, а связям отвечают находящиеся в инволюции наборы функций на этих многообразиях. Показано, что этой техники недостаточно для “инвариантизации” дираковой процедуры “размножения” связей. Сделано это на примере типичной квантово-полевой ситуации, когда изначальная функция Лагранжа есть квадратичная форма по скоростям с вырожденной матрицей коэффициентов. Изначальным фазовым пространством предлагается считать многообразие, где “живут” все аргументы функционала действия, включая множители Лагранжа. При этом множители Лагранжа получают естественную физическую интерпретацию как скорости (в гамильтоновой формулировке) или импульсы (в лагранжевой формулировке), относящиеся к “нефизическим” степеням свободы. Инвариантным образом определенная на таком многообразии квазисимплектическая 2-форма оказывается вырожденной. Предложены новые дифференциально-геометрические структуры, позволяющие сформулировать процедуру Дирака на инвариантном языке.