Положительность собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке

Рассмотрено семейство $H(k)$ двухчастичных дискретных операторов Шредингера, зависящих от квазиимпульса системы двух частиц $k\in\mathbb{T}^d$, здесь $\mathbb T^d$ – $d$-мерный тор. Это семейство операторов ассоциировано с гамильтонианом системы двух произвольных частиц на $d$-мерной решетке $\mathbb{Z}^d$, $d\ge 3$, которые взаимодействуют с помощью парного короткодействующего потенциала притяжения. Доказано, что собственные значения оператора Шредингера $H(k)$, лежащие ниже левой границы существенного спектра, положительны при всех ненулевых значениях квазиимпульса $k\in\mathbb{T}^d$, если оператор $H(0)$ неотрицательный. Установлен аналогичный результат для собственных значений оператора Шредингера $H_{+}(k)$, $k\in\mathbb{T}^d$, соответствующего системе двух частиц с отталкивающим взаимодействием.