Функция кратностей для тензорных степеней модулей алгебры $A_n$

Рассмотрено разложение $p$-й тензорной степени модуля $L^{\omega_1}$ алгебры $A_n$ на неприводимые модули: $(L^{\omega_1})^{\otimes p}=\sum_{\nu}m(\nu,p)L^{\nu}$. Tакая задача возникает, например, при нахождении спектра инвариантного гамильтониана спиновой цепочки с $p$ узлами. Для решения задачи предложено использовать свойства симметрии Вейля. Разработан алгоритм построения коэффициентов $m(\nu, p)$ как функций от $p$, который можно применять для степеней произвольного модуля. Выписано явное выражение для кратностей $m(\nu, p)$ в разложении степеней первого фундаментального модуля алгебры $sl(n+1)$. На основе полученных результатов найдены новые свойства систем ортогональных полиномов (мультивариантных полиномов Чебышёва). Возможно применение разработанного алгоритма к тензорным степеням модулей других простых алгебр Ли.