Классический дубль, $R$-операторы и отрицательные потоки интегрируемых иерархий

С использованием классического дубля $\mathcal G$ алгебры Ли $\mathfrak g$, оснащенной классическим $R$-оператором, определены два набора функций, коммутирующих по отношению к изначальной скобке Ли–Пуассона на дуальном пространстве $\mathfrak g^*$ и его расширениях. Детально рассмотрены примеры алгебр Ли $\mathfrak g$ с $R$-операторами Адлера–Костанта–Симса и два соответствующих набора взаимно коммутирующих функций. На основе полученных коммутирующих гамильтоновых потоков на различных расширениях алгебры $\mathfrak g$ выведено уравнение нулевой кривизны с $\mathfrak g$-значными $U$–$V$-парами. Среди полученных уравнений содержатся так называемые отрицательные потоки интегрируемых иерархий. Предлагаемый подход проиллюстрирован примерами абелевых и неабелевых уравнений двумерного поля Тоды.