Точные решения модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза

С помощью метода обратной задачи рассеяния получена формула для некоторых точных решений модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза. Ядро соответствующего интегрального уравнения Марченко записывается с помощью матричных экспонент в виде $\Omega(x+y;t)=Ce^{-(x+y)A}e^{8A^3 t}B$, где триплет вещественных матриц $(A,B,C)$ состоит из постоянной матрицы $A$ размера $p\times p$, собственные значения которой имеют положительные вещественные части, из постоянной матрицы $B$ размера $p\times 1$ и из постоянной матрицы $C$ размера $1\times p$, где $p$ – положительное целое число. С помощью метода разделения переменных в явном виде найдено решение интегрального уравнения Марченко, что дает точные решения модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза. Эти решения строятся в терминах единственного решения $P$ уравнения Сильвестра $AP+PA=BC$ или в терминах единственных решений $Q$ и $N$ уравнений Ляпунова $A^\dagger Q+QA=C^\dagger C$ и $AN+NA^\dagger=BB^\dagger$, где через $B^\dagger$ обозначена сопряженная транспонированная матрица. Рассмотрены два интересных примера.