О фазовом сдвиге в анзаце Кузмака–Уизема

Рассмотрены однофазовые (формальные) асимптотические решения в форме Кузмака–Уизема для нелинейного уравнения Клейна–Гордона и уравнения Кортевега–де Фриза. В этом случае главный член асимптотического решения представляется в форме $X(S(x,t)/h+\Phi(x,t),I(x,t),x,t)+O(h)$, где $h\ll1$ – малый параметр, фаза $S(x,t)$ и медленно меняющиеся параметры $I(x,t)$ находятся из системы “осредненных” уравнений Уизема. Уравнение для фазового сдвига $\Phi(x,t)$ получается из исследования второй поправки к главному члену. При этом соответствующая процедура нахождения фазового сдвига неравномерна относительно перехода к линейному (и слабонелинейному) случаю. Наше наблюдение, по существу вытекающее из работ Хабермана и соавторов, состоит в том, что если включить фазовый сдвиг $\Phi$ в фазу и скорректировать параметр $\tilde{I}$, положив $\widetilde{S}=S+h\Phi+O(h^2)$, $\tilde{I}=I+hI_1+O(h^2)$, то функции $\widetilde{S}(x,t,h)$, $\tilde{I}(x,t,h)$ будут решениями задачи Коши для той же системы Уизема, но с измененными начальными условиями. Эти функции уже полностью определяют главный член асимптотики, который равен $X(\widetilde{S}(x,t,h)/h,\tilde{I}(x,t,h),x,t)+O(h)$.