Непертурбативный подход к конечномерным негауссовым интегралам

Изучается однородный негауссов интеграл $J_{n|r}(S)=\int e^{-S(x_1,\dots,x_n)}\,d^nx$, где $S(x_1,\dots,x_n)$ – симметрическая форма степени $r$ от $n$ переменных. Этот интеграл естественно инвариантен относительно $SL(n)$-преобразований, и поэтому зависит лишь от инвариантов формы: например, для квадратичных форм он равен определителю формы в степени $-1/2$. Для форм старших степеней интеграл в ряде случаев удается вычислить, используя так называемые тождества Уорда – линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Описан метод вычисления интеграла и приведены детальные вычисления для случая $n=2$, $r=5$. Интересно, что ответ оказывается гипергеометрической функцией от инвариантов формы.