Интегрируемые системы и квадраты собственных функций

Дан краткий обзор формализма Абловица–Каупа–Ньюэла–Сегуры для интегрируемых (1D$+$1D)-систем начиная с пары Лакса, а далее рассмотрена интегрируемая теория возмущений и квадраты собственных функций. Основное внимание уделяется общим свойствам, обнаруженным в обратном преобразовании рассеяния для широкого класса известных (1D$+$1D)-систем. Предпринят ряд шагов, выбранных таким образом, чтобы продвигаться вперед, как при анализе систем высшего порядка. Приведен краткий обзор прямой задачи рассеяния и обратных задач рассеяния, вслед за чем рассмотрены возмущения потенциалов и данных рассеяния. Для последней задачи исходный подход к возмущениям системы Абловица–Каупа–Ньюэла–Сегуры переформулирован так, чтобы подчеркнуть его единонаправленность с общими свойствами (1D$+$1D)-систем. Для вывода возмущений потенциалов, вызванных возмущениями данных рассеяния в отсутствие солитонов, использован недавно разработанный подход. Наконец, показано, что последние результаты по нахождению квадратов собственных функций и их сопряженных в виде сумм произведений (а не просто произведений) функций Йоста определяются симметриями, наложенными на матрицу потенциалов.