Проективные кривые над кольцом, включающие в себя два-кубиты

Найдено, что проективная прямая над (некоммутативным) кольцом матриц размера $2\times2$ с коэффициентами в группе $GF(2)$ полностью включает в себя алгебру 15 операторов (обобщенных матриц Паули), задающую систему два-кубитов. Соответствующая подконфигурация состоит из 15 точек, каждая из которых одновременно оказывается или удаленной, или соседней по отношению к двум (произвольно заданным) удаленным точкам проективной прямой. Операторы можно отождествить с точками таким однозначным образом, чтобы их коммутационные соотношения в точности воспроизводились бы соответствующей геометрией точек; при этом геометрические отношения соседства и удаленности отвечают соответственно операторным отношениям коммутативности и некоммутативности. Эту примечательную конфигурацию можно рассматривать двумя принципиально разными способами, основанными соответственно на базисных $9+6$ и $10+5$ факторизациях алгебры наблюдаемых. Во-первых, эта конфигурация представляет собой объединение взаимно несвязных проективной прямой над $GF(2)\times GF(2)$ (“мерминовская” составляющая) и двух линий над $GF(4)$, проходящих через две выбранные точки, которые мы опустим. Во-вторых, она оказывается обобщенным четырехугольником порядка два, овоиды и/или растяжки которого отвечают соответственно (максимальным) наборам пяти взаимно некоммутирующих операторов и/или группам из пяти максимальных подмножеств коммутирующих операторов, каждое из которых содержит три оператора. Это наблюдение открывает неожиданные возможности для алгебро-геометрического моделирования конечномерных квантовых систем и совершенно новые перспективы для их многообразных применений.