К построению логарифмических расширений $\widehat{s\ell}(2)_k$-моделей конформной теории поля

Для положительных целых $p=k+2$ строится логарифмическое расширение конформной $\widehat{s\ell}(2)_k$-теории поля интегрируемых представлений путем взятия ядра двух фермионных скрининговых операторов в резольвенте-бабочке для трехбозонной реализации алгебры $\widehat{s\ell}(2)_k$. Токи $W^-(z)$ и $W^+(z)$ $W$-алгебры, действующей в ядре, определяются состоянием старшего веса размерности $4p-2$ и заряда $2p-1$ и $(\theta=1)$-твистованным состоянием старшего веса той же размерности $4p-2$ и заряда $-2p+1$. Построены $2p$ представлений $W$-алгебры, вычислены их характеры и показано, что вместе с $p-1$ характерами интегрируемых представлений они порождают представление модулярной группы, структура которого описывается как деформация $(9p-3)$-мерного представления $\mathscr{R}_{p+1}\oplus\mathbb{C}^2{\otimes}\mathscr{R}_{p+1}\oplus \mathscr{R}_{p-1}\oplus\mathbb{C}^2\otimes\mathscr{R}_{p-1} \oplus\mathbb{C}^3\otimes\mathscr{R}_{p-1}$, где $\mathscr{R}_{p-1}$ – $SL(2,\mathbb{Z})$-представление на характерах интегрируемых $\widehat{s\ell}(2)_k$-представлений, а $\mathscr{R}_{p+1}$ – $(p+1)$-мерное $SL(2,\mathbb{Z})$-представление, известное из логарифмической $(p,1)$-модели. Размерность $9p-3$ предположительно является размерностью пространства амплитуд на торе, а $\mathbb{C}^n$ при $n=2$ и $3$ указывают на размер жордановых клеток в неразложимых представлениях $W$-алгебры. Показано, что при гамильтоновой редукции токи $W$-алгебры отображаются в токи триплетной $W$-алгебры логарифмической $(p,1)$-модели.