Проективная прямая над конечным фактор-кольцом $GF(2)[x]/\langle x^3-x\rangle$ и квантовое зацепление. “Магические” квадрат и пентаграмма Мермина

В 1993 г. Мермин дал удивительно простые доказательства теоремы Белла–Кохена–Шпеккера в гильбертовых пространствах размерностей $4$ и $8$, используя конструкции, которые с этого момента стали называться соответственно “магическим” квадратом Мермина–Переса и пентаграммой Мермина. Первая конструкция представляет собой $(3\times 3)$-массив девяти наблюдаемых, попарно коммутирующих в каждой строке и каждом столбце и организованных таким образом, что свойства их произведений вступают в противоречие со свойствами приписанных им собственных значений. Вторая конструкция представляет собой множество из десяти наблюдаемых, упорядоченных в пять групп по четыре элемента, расположенных вдоль пяти сторон пентаграммы, и характеризуется аналогичным противоречием. Найдено взаимно однозначное соответствие между операторами квадрата Мермина–Переса и точками проективной прямой над кольцом $GF(2)\otimes GF(2)$. При таком отображении понятие взаимного коммутирования трансформируется в понятие взаимной удаленности, и отличительный признак наблюдаемых из третьего столбца имеет свой аналог в характеристических свойствах координат соответствующих точек, оба координатных элемента которых одновременно либо являются делителями нуля, либо обратимы. Десять операторов пентаграммы Мермина отвечают особому подмножеству точек проективной прямой над кольцом $GF(2)[x]/\langle x^3-x\rangle$. Однако в этом случае ситуация более запутанная, поскольку существуют две различные конфигурации, одинаково хорошо подходящие для наших целей. Одна конфигурация состоит из трех различных точек (суб)прямой над $GF(2)$, трех отвечающих им “точек Джекобсона” и четырех точек, обе координаты которых являются делителями нуля. Другая конфигурация содержит окрестность точки $(1,0)$ (или, эквивалентно, точки $(0,1)$). Отмечены также некоторые другие прямые над кольцами, которые могут иметь отношение к доказательствам теоремы Белла–Кохена–Шпеккера в более высоких размерностях.