Гамильтониан Дирака со сверхсильным кулоновским полем

Рассмотрена проблема квантово-механического описания движения релятивистской дираковской частицы в кулоновском поле точечного заряда $Ze$. В литературе часто высказывается утверждение о том, что квантово-механическое описание такой системы для значений заряда, бо́льших так называемого критического значения с $Z=\alpha^{-1}=137$, не существует. Это мнение основано на том факте, что стандартное выражение для энергии нижнего уровня дает комплексные значения при сверхкритических значениях заряда. Показано, что с математической точки зрения не существует никаких препятствий для построения самосопряженных гамильтонианов при любых значениях заряда. Более того, переход через критическое значение заряда не приводит ни к каким качественным изменениям в математическом описании системы. Специфическая особенность сверхкритических зарядов состоит в том, что самосопряженные гамильтонианы в этом случае строятся не единственным образом. Однако такая неоднозначность существует и при значениях заряда, меньших критического (но бо́льших субкритического значения с $Z=(\sqrt{3}/2)\alpha^{-1}=118$). Найдены спектры и (обобщенные) собственные функции для всех самосопряженных гамильтонианов. При построении гамильтонианов и их спектральном анализе используются соответственно методы теории самосопряженных расширений симметрических операторов и метод направляющих функционалов Крейна. Вопрос об отношении построенной одночастичной квантовой механики к реальной физике электронов в сверхкритических кулоновских полях, где многочастичные эффекты могут оказаться определяющими, остается открытым.