Хаос и порядок в многомерной модели Френкеля–Конторовой

Изучаются свойства минимальных решений (минималей) многомерной дискретной периодической вариационной задачи, пространством параметров которой является $Z^d$, а пространством значений – $R^q$. Одномерным примером такой задачи служит хорошо известная модель Френкеля–Конторовой. Введенное ранее для случая ($d\geqslant1$, $q=1$) понятие самосогласованной минимали распространяется на общий случай ($q>1$), и вводится понятие слабо самосогласованной минимали. Показывается, что каждая самосогласованная (слабо самосогласованная) минималь находится в конечной окрестности графика линейной (полилинейной) функции. Для самосогласованных минималей построен полный аналог одномерной теории Обри–Мазера. При $q=1$ доказывается, что все минимали слабо самосогласованы. При $q>1$ построен пример, демонстрирующий бифуркацию порядок–хаос, соответствующую появлению вполне неупорядоченных семейств минималей. Обсуждается связь этой задачи с теорией Колмогорова–Арнольда–Мозера (КАМ).