Свободное движение $q$-деформированной квантовой частицы

Рассматриваются $q$-деформация алгебры Гайзенберга и представление для нее конечноразностными операторами. Доказывается, что для автоморфизма алгебры, отвечающего свободному движению, не существует порождающего его полиномиального гамильтониана. Рассматриваются также свойства плоских волн, т.е. собственных функций $q$-деформированного оператора импульса. Отмечено, что для $q=\exp(\pi i\vartheta)$, где $\vartheta$ иррационально, собственные функции могут быть неизмеримы.