Квантовая интегрируемость и квантовый хаос в микромазере

Зависящие от времени квантовые гамильтонианы
$$ \widehat H(t)=\begin{cases} \widehat H,\quad &t_i<t<t_i+t_\mathrm{int}, \\ \omega_0\widehat N,\quad &t_i+t_\mathrm{int}<t<t_{i+1}, \end{cases} $$
описывают мазеры с $N$ двухуровневыми атомами, взаимодействующими с отдельной модой квантованного поля в резонаторе мазера; здесь $t_i$, $i=1,2,\dots,N_a$, – дискретные моменты времени, $N_a$ велико ($\sim 10^5$), $\widehat N$ – оператор числа частиц в алгебре Гейзенберга–Вейля (ГВ), а $\omega_0$ – собственная частота резонатора. $N$ атомов образуют $(N+1)$-мерное представление алгебры Ли $su(2)$, а отдельная мода образует представление алгебры ГВ. Мы считаем, что $N$ атомов в возбужденном состоянии попадают в резонатор в каждый момент $t_i$ и покидают его в момент $t_i+t_\mathrm{int}$. В пренебрежении всеми эффектами затухания и конечной температуры эта модель при $N=1$ описывает одноатомный микромазер, в настоящее время действующий на атомах $^{85}$Rb, совершающих микроволновые переходы между двумя высшими ридберговскими состояниями. Мы показываем, что $\widehat H$ является полностью интегрируемым для любого $N=1,2,\dots$ в квантовом смысле, и находим нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) второго порядка, определяющее эволюцию оператора инверсии $S^Z(t)$ в алгебре Ли $su(2)$. При $N=1$ и нелинейном условии $[S^Z(t)]^2=(1/4)\hat I$ это ОДУ линеаризуется, превращаясь в операторное уравнение гармонического осциллятора, которое мы решаем. При $N=1$ движение в расширенном гильбертовом пространстве $\mathcal H$ может описываться предельным циклом, сочетающим в себе движение атома под действием указанного нелинейного условия со сходимостью числа $n$ фотонов к $n_0$, определяемому уравнением $\sqrt{n_0+1}gt_\mathrm{int}=r\pi$ ($r$ целое, $g$ – константа взаимодействия атом–поле). Движение стационарно для каждого значения $t_i$; при каждом $t_i$ состояние атом–поле имеет вид $|e\rangle|n_0\rangle$, где $|e\rangle $ – возбужденное состояние двухуровневого атома и $\widehat N|n_0\rangle=n_0|n_0\rangle$. Используя подходяющую алгебру петель, мы формулируем операторные уравнения движения в течение времени $t_\mathrm{int}$ для любого $N$ в терминах пары Лакса. При $N=2$ и $N=3$ нелинейные операторные уравнения линеаризуются при подходящем дополнительном нелинейном условии; мы находим операторные решения при $N=2$ и $N=3$, а затем мазерное решение при $N=2$. Исследовав квазиклассические пределы нелинейных операторных уравнений движения, мы приходим к выводу, что “квантовый хаос” нельзя создать в $N$-атомном микромазере ни при каком $N$. Одним из препятствий оказывается особый вид квазиклассического предела для операторной задачи с $N$ атомами. Поскольку эта $c$-числовая квазиклассика имеет нестабильную особую точку, “квантовый хаос”, вероятно, может быть создан путем воздействия на реальную квантовую систему дополнительным внешним микроволновым полем, взаимодействующим с резонатором мазера.