Связь между уравнениями Фоккера–Планка–Колмогорова и нелинейными уравнениями Ланжевена

Напоминается доказательство утверждения о том, что поведение любой голономной нерелятивистской системы может быть описано в терминах уравнения Ланжевена в евклидовом (мнимом) времени, так что для определенных начальных условий различные стохастические корреляторы совпадут (после их усреднения по стохастической силе) с квантово-механическими корреляторами. Уравнение Фоккера–Планка–Колмогорова, которое следует из этого уравнения Ланжевена, эквивалентно уравнению Шредингера в евклидовом времени, если гамильтониан является эрмитовым, динамика описывается потенциальными силами, вакуумное состояние нормируемо и имеется энергетическая щель между вакуумным и первым возбужденным состояниями. Эти условия необходимы для доказательства предельной и эргодической теорем. Для трех точно решаемых моделей с нелинейными уравнениями Ланжевена показано, что соответствующие уравнения Шредингера удовлетворяют всем перечисленным выше условиям и приводят к локальным линейным уравнениям Фоккера–Планка–Колмогорова с производными не выше второго порядка. Кроме того, кратко обсуждается ряд нетривиальных математических вопросов стохастического анализа.