Собственные функции квадратичных гамильтонианов в вигнеровском представлении

Для произвольного нестационарного $N$-мерного квадратичного гамильтониана получены точные решения уравнения Шредингера в вигнеровском представлении. Показано, что полная система решений всегда может быть выбрана в виде произведений $N$ полиномов Лагерра, аргументы которых являются квадратичными интегралами движения соответствующей классической задачи. Найдена производящая функция для вероятностей перехода между фоковскими состояниями, являющаяся многомерным обобщением известной формулы Хусими для осциллятора с переменной частотой. В качестве примера подробно рассмотрено движение заряженной частицы в однородном переменном электромагнитном поле.