Проблема нулевых мод в теории поля Лиувилля

Произведено квантование нулевых мод свободного поля $p$, $q$ на полуплоскости $p>0$ как для теории поля Лиувилля, так и для ее редукции к динамике лиувиллевской частицы. Детально описана динамика лиувиллевской частицы, вычислены одноточечные функции для вершинных операторов частицы, выведена их реализация посредством нулевых мод на полуплоскости и доказано, что вершинные операторы частицы являются самосопряженными в гильбертовом пространстве $L^2(\mathbb{R}_+)$ вследствие симметрий, порождаемых $S$-матрицей. Аналогично самосопряженность соответствующего вершинного оператора теории поля Лиувилля в секторе нулевых мод получена с применением лиувиллевской амплитуды отражения, которая выводится при помощи операторного метода.