О плотном точечном спектре операторов Шредингера и Дирака

Даны конструкции примеров одномерных самосопряженных операторов Шредингера и Дирака с потенциалом, убывающим чуть медленнее кулоновского, у которых точечный спектр плотно заполняет полуось $[0,\infty)$ и всю ось $\mathbb R$, соответственно. Построены примеры потенциалов $q$, таких что у соответствующего оператора Шредингера с убывающим потенциалом $C\cdot q$ ($C=\operatorname{const}>0$ – постоянная связи) точечный спектр плотно заполняет отрезок $[0,C]$, а при $\lambda>C$ собственные значения отсутствуют вовсе. Последний пример может представить интерес при исследовании фазового перехода металл – изолятор в модели Андерсона. Обсуждение близких вопросов спектральной перестройки оператора Шредингера можно найти в работах [1–7]. Кратко основные результаты данной работы были изложены в заметке автора [8].