Нелинейная реализация конформной группы двумерия и уравнение Лиувилля

Показано, что уравнение Лиувилля $u_{+-}=m^2e^{-2u}$ имеет адекватное описание на языке нелинейной реализации бесконечнопараметрической конформной группы двумерия $G$. Координаты двумерного пространства Минковского $x^+$, $x^-$ и поле $u(x)$ отождествляются с определенными параметрами фактор-пространства $G/H$, где $H=SO(1,1)$ – группа Лоренца двумерия. Уравнение Лиувилля возникает как одно из ковариантных условий редукции фактор-пространства $G/H$ к его связному геодезическому подпространству $SL(2,R)/H$. Альтернативная редукция к подпространству $\mathscr P(1,1)/H$, где $\mathscr P(1,1)$ – двумерная группа Пуанкаре, приводит к свободному уравнению для $u(x)$. Соответствующие представления нулевой кривизны и преобразования Бэклунда приобретают в данном подходе простой теоретико-групповой смысл. Обсуждается возможность обобщения предложенной конструкции на другие интегрируемые системы.