Векторные состояния на алгебрах наблюдаемых и правила суперотбора. I. Векторные состояния и гильбертово пространство

Производится детальное исследование векторных состояний на произвольной приводимой $W^*$-алгебре наблюдаемых $R$. Свойства векторных состояний (чистота, подчиненность и т.п.) переформулируются и изучаются в терминах их “прообразов” – множеств векторов в гильбертовом пространстве $\mathscr H$, отвечающих одному и тому же векторному состоянию. Исчерпывающе описаны свойства прообразов чистых векторных состояний. Затем выделяется класс "квантовых теорий с $\mathscr H=\mathscr H_p$", для которых $\mathscr H$ совпадает с замыканием $\mathscr H_p$ линейной оболочки множества всех векторов, представляющих чистые состояния. Доказывается, что теория принадлежит данному классу тогда и только тогда, когда $R$ – прямая сумма дискретных факторов. Детально описывается структура $R$ и $\mathscr H$ для данного класса теорий: даются различные представления $\mathscr H$, определяется запас чистых векторных состояний и запас неприводимых относительно $R$ подпространств и др. Определяется соответствие полученных результатов с формализмом абстрактного алгебраического подхода.