“Падение на центр” в квантовой механике

Исследуется “падение на центр” для потенциалов притяжения, сингулярных при $r\to 0$. В этом случае задание гамильтониана $H$ еще не определяет однозначно физические величины: уровни энергии, длину рассеяния, $S$-матрицу и т.д. Для того чтобы задача стала математически корректной, необходимо дополнительно ввести в теорию еще одну константу $\gamma$. Ее физический смысл состоит в том, что $\gamma$ является фазой отражения в точке $r=0$ и феноменологически учитывает обрезание потенциала на малых расстояниях. С математической точки зрения задание $\gamma$ определяет самосопряженное расширение формально эрмитовского оператора $H$. Рассмотрен ряд конкретных потенциалов, для которых возможно решение уравнения Шредингера в аналитическом виде. На этих примерах показано, как различные физические величины зависят от $\gamma$. Обсуждается ситуация с “падением на центр” в одномерной задаче $N$ тел.