О корректных граничных задачах для интегрируемых эволюционных уравнений на конечном интервале

Рассматриваются граничные задачи для произвольного заданного на интервале $[0,L]$ линейного эволюционного уравнения в одномерном пространстве с пространственными производными порядка $n$. Класс подобных задач характеризуется тем, что они допускают единственное решение и в этом смысле являются корректно поставленными. Такие корректно поставленные граничные задачи получаются путем предписывания $N$ условий при $x=0$ и $n-N$ условий при $x=L$, где $N$ зависит от $n$ и от знака коэффициента при старшей степени $\alpha _n$ в дисперсионном соотношении для данного уравнения. Для задач такого класса дается интегральное представление решения в виде спектрального разложения; более того, показывается, что подобные задачи являются единственными задачами, допускающими такое представление. Полученные результаты можно использовать для установления корректной определенности, по крайней мере локально по времени, некоторых физически актуальных нелинейных эволюционных уравнений в одномерном пространстве.