Подвижные особые точки решений разностных уравнений, их связь с разрешимостью и исследование сверхстабильных фиксированных точек

Дается обзор приложений экспоненциальных асимптотик и теории анализируемых функций к разностным уравнениям при определении аналога свойства Пенлеве для них, а также набросок заключений относительно свойства разрешимости автономных уравнений первого порядка. Оказалось, что если выполнено свойство Пенлеве, то уравнения являются явно решаемыми; в противоположном случае, при дальнейших предположениях, интегралы движения порождают барьеры сингулярностей. Метод применяется к логистическому отображению $x_{n+1}=ax_n(1-x_n)$, для которого оказывается, что единственными случаями со свойством Пенлеве являются случаи, когда $a=-2,0,2$ и $4$, для которых явные решения действительно существуют; в противном случае ассоциированное сопряженное отображение порождает барьер сингулярностей.