Образующие Сильвестра–'т Хоофта для алгебр Ли $\mathfrak {sl}(n)$ и $\mathfrak {gl}(n|n)$ и соотношения между ними

Среди простых конечномерных алгебр Ли только $\mathfrak{sl}(n)$ имеет два автоморфизма конечного порядка, у которых нет общего ненулевого собственного вектора с собственным значением 1. Оказывается, что эти автоморфизмы являются внутренними и представляют собой пару образующих, позволяющих породить всю алгебру $\mathfrak{sl}(n)$ с помощью скобки. По-видимому, Сильвестр был первым, кто отметил эти образующие, однако он использовал их как образующие ассоциативной алгебры всех $(n\times n)$-матриц $\operatorname{Mat}(n)$. Эти образующие появляются в описании эллиптических решений классического уравнения Янга–Бакстера, ортогональных разложений алгебр Ли, в работах 'т Хоофта по операторам конфайнмента в КХД и в ряде других случаев. Нами предложен алгоритм, который, с одной стороны, порождает $\mathfrak{sl}(n)$, а с другой – явно описывает набор определяющих соотношений. Для простых (с точностью до центра) супералгебр Ли аналоги образующих Сильвестра существуют только для $\mathfrak{gl}(n|n)$. Для этого случая соотношения также получены.