К вопросу о локальных возмущениях динамики бесконечных систем

Рассматриваются системы с локально возмущенной динамикой. Предполагается, что наблюдаемые системы образуют $C^*$-алгебру $A$, тогда невозмущенная $\sigma_t$- и возмущенная $\sigma_t^p$-динамики интерпретируются как однопараметрические группы автоморфизмов $A$. Если $\omega$ – КМШ-состояние на $A$ для $\sigma_t^p$, а $A$ асимптотически абелева относительно $\sigma_t$, то, как показано в работе, пределы $\lim\limits_{t\to\pm\infty}\omega(\sigma_t(a))=\omega_{\pm}(a)$ существуют, $\omega_+=\omega_-$ и $\omega_{\pm}$ – КМШ-состояние для $\sigma_t$. Если, более того, $\lim\limits_{s\to\pm\infty}\sigma_{-s}^p\sigma_s=\gamma_{\pm}$ сушествуют и определяют эпиморфизмы $A$ (необязательно обратимые), сплетающие $\sigma_t$ и $\sigma_t^p \ (\gamma_{\pm}\sigma_t=\sigma_p^t\gamma_{\pm})$, то $\gamma_{\pm}$ расширяются до автоморфизмов алгебры фон Неймана $M=\pi_{\omega}(A)''$, где $\pi_{\omega}$ – представление $A$, построенное по состоянию $\omega$ согласно конструкции ГНС. Таким образом, $\gamma_{\pm}^{-1}\sigma_t^p=\sigma_t\gamma_{\pm}^{-1}$, если $\gamma_{\pm}, \sigma_t, \sigma_t^p$ рассматривать как автоморфизмы $M$. Мы докажем также, что $\lim\limits_{|t|\to\infty}\omega_{\pm}(\sigma_t^p (a))$ в этом случае существует и равен $\omega(a)$, где $a\in A$. Наконец, будет доказано, что $M$ асимптотически абелева относительно расширения $\sigma_t$ на $M$, отсюда, в частности, вытекает, что $M$ – алгебра типа III.