Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и $N$-солитонные решения уравнения Кортевега–де Фриса

Получено явное описание всех конечнозонных периодических потенциалов, для которых заданы границы непрерывного спектра соответствующего оператора Шредингера. Исследована задача Коши для уравнения Кортевега–де Фриса с конечнозонным начальным условием и найдено явное выражение решения через многомерную $\Theta$-функцию. Найдено характеристическое свойство $N$-зонных периодических и $N$-солитонных убывающих потенциалов – существование пары решений $\psi_1(x,\lambda)$, $\psi_2(x,\lambda)$ уравнения Шредингера, такой что их произведение – полином порядка $N$ от спектрального параметра $\lambda$.