О нелинейном уравнении динамики в теории $p$-адической струны

Исследуются нелинейные псевдодифференциальные уравнения с бесконечным числом производных. Это уравнения нового класса, первоначально возникшие в теории $p$-адической струны; их исследование представляет интерес для математической физики и eе приложений, в частности в теории струн и в космологии. В настоящей работе предпринято систематическое математическое исследование свойств этих уравнений. Доказана основная теорема единственности решения в некоторой алгебре обобщенных функций, обсуждаются краевые задачи для ограниченных решений и доказана теорема о существовании пространственно-однородных решений при нечетных $p$, а для четных $p$ доказано отсутствие непрерывных неотрицательных решений, интерполирующих между двумя вакуумами, и указывается на возможность наличия разрывных решений. Также рассматривается многомерное уравнение и обсуждаются солитонные и $q$-бранные решения.