Преобразование цепочки Боголюбова к точной закнутой системе уравнений для унарной и бинарной функций распределения. I. Короткодействующий потенциал

Введено понятие химического потенциала $\mu_{(p)}$ группы $p$ частиц $(p= 1,\dots,N)$ и показано, что в состоянии равновесия $\mu_{(p)}(\mathbf r_1,\dots,\mathbf r_p) =p\mu$, где $\mu=\mathrm{const}$ – обычный химический потенциал ($\mathbf r_i$ – координата $i$-й частицы, $N$ – полное число частиц в системе). Условие $\mu_{(p)}=\mathrm{const}$ является следствием равенства нулю полной силы $\mathbf F_{i(p)}(\mathbf r_1,\dots,\mathbf r_i,\dots,\mathbf r_p)=0$, действующей на частицу $i$, $1\leq i\leq p$. Показано, что из существующих в настоящее время способов вычисления функций распределения $\mathscr G_{(p)}$ только вириальное разложение по степеням плотности удовлетворяет одновременно условиям $\mu_{(p)}=\mathrm{const}$, $\mathbf F_{i(p)}=0$; все приближенные уравнения теории жидкостей удовлетворяют только одному из них. Сформулировано необходимое условие существования уравнений Боголюбова для равновесных функций распределения $\mathscr G_{(p)}$. На основе этих уравнений построено разложение функций распределения $\mathscr G_{(p)} =\sum\limits_{(k)}\lambda^k \mathscr G_{(p)}^{(k)}$ по малому параметру $\lambda$, характеризующему объем интегрирования, и показано, что любой отрезок этого ряда одновременно удовлетворяет условиям $\mu_{(p)}^{(k)}=\mathrm{const}$, $\mathbf F_{i(p)}^{(k)}=0$. Полученные для $\mathscr G_{(p)}^{(k)}$, $p\geqslant 3$, уравнения решаются в общем виде, что позволяет исключить все старшие функции распределения из уравнений для $\mathscr G_{(1)}$, $\mathscr G_{(2)}$. После этого их удается просуммировать, что приводит к системе двух точных замкнутых уравнений для унарной и бинарной функций распределения с ядром в виде бесконечного ряда, члены которого, в свою очередь, зависят от $\mathscr G_{(1)}$ и $\mathscr G_{(2)}$. Эти уравнения имеют вид $\mu_{(1)}=\mu$, $\mu_{(2)}=2\mu$. В “жидкой” области параметров их можно решать методом последовательных приближений.