Оператор Калоджеро и супералгебры Ли

Построен супераналог оператора Калоджеро $\mathcal S\mathcal L$, зависящий от параметра $k$. Он связан с системой корней супералгебры Ли $\mathfrak {gl}(n|m)$. Для $m=0$ это обычный оператор Калоджеро, а для $m=1$, с точностью до замены переменных и параметра $k$, это оператор, построенный Веселовым, Чалых и Фейгиным. Для $k=1$, $1/2$ оператор $\mathcal S\mathcal L$ является радиальной частью оператора Лапласа второго порядка для симметрических суперпространств, соответствующих парам $(\mathfrak {gl}\oplus \mathfrak {gl}, \mathfrak {gl})$, $(\mathfrak {gl},\mathfrak {osp})$. Показано, что при любых $m$ и $n$ супераналоги полиномов Джека, построенные Керовым, Окуньковым и Ольшанским, являются собственными функциями оператора $\mathcal S\mathcal L$. Для $k=1$, $1/2$ супераналоги полиномов Джека совпадают со сферическими функциями на вышеупомянутых суперпространствах. Изучается также алгебраический аналог интеграла Березина.