О плотной упаковке прямолинейных поли­меров на квадратной решетке

Рассматривается множество плотных упаковок прямолинейных $r$-меров на квадратной решетке. Показано, что число конфигураций $r$-меров на решетке, содержащей $N$ узлов, увеличивается с ростом $N$ не медлен­нее чем $\exp{\{4GN/\pi r^2\} }$ и не быстрее чем $(r/2)^{N/r^2}\exp{\{4GN/\pi r^2\}}$, если $r$ четно, и
$$ \biggl(\frac{r-1}{2}\biggr)^{N/r^2} \exp\biggl\{(N/\pi r^2)\int_0^{\pi} \operatorname{arch}\biggl(\frac{2r}{r-1}-\cos{\varphi}\biggr)\,d\varphi\biggr\}, $$
если $r$ нечетно ($G$ – постоянная Каталана).