Расширенные группы вращений и масштабных преобразований для нелинейных эволюционных уравнений

$(1+1)$-мерное нелинейное эволюционное уравнение является инвариантным относительно группы вращений, если оно инвариантно относительно инфинитезимального генератора $V=x\partial_u-u\partial_x$. В этом случае решение удовлетворяет условию $u_x=-x/u$. Для уравнений, которые не допускают группу вращений, определяется расширение этой группы. Соответствующее точное решение может быть построено с помощью инвариантного множества $R_0=\{u:u_x=x F(u)\}$ контактных дифференциальных структур первого порядка, где $F$ – подлежащая определению гладкая функция. Показано, что временной эволюцией на множестве $R_0$ управляет динамическая система первого порядка. Вводится расширение группы масштабных преобразований, характеризуемое инвариантным множеством $\widetilde S_0$, которое зависит от двух констант $\epsilon$ и $n\ne1$. При $\epsilon=0$ это множество превращается в инвариантное множество $S_0$, введенное Галактионовым. Вводится также обобщение обеих групп (вращений и масштабных преобразований), которое характеризуется инвариантным множеством $E_0$ с параметрами $a$ и $b$. При $a=0$ или $b=0$ это множество превращается в множество $R_0$ или $S_0$, соответственно. Указанные подходы используются для получения точных решений и редукций динамических систем нелинейных эволюционных уравнений.