Соответствие Каждана–Люстига для категории представлений триплетной $W$-алгебры в логарифмических конформных теориях поля

Для изучения категории представлений триплетной $W$-алгебры $\boldsymbol{\mathcal{W}}(p)$, являющейся алгеброй симметрий $(1,p)$-логарифмических моделей конформной теории поля, предлагается эквивалентная категория $\EuScript{C}_p$ конечномерных представлений “ограниченной” квантовой группы $\overline{\EuScript{U}}_{\!\mathfrak{q}} s\ell(2)$ при $\mathfrak{q}=e^{{i\pi}/{p}}$. Категория $\EuScript{C}_p$ полностью описана посредством классификации всех неразложимых представлений, которые исчерпываются проективными модулями и тремя сериями представлений, описываемых неразложимыми представлениями колчана Кронекера. Эквивалентность категорий $\boldsymbol{\mathcal{W}}(p)$- и $\overline{\EuScript{U}}_{\!\mathfrak{q}} s\ell(2)$-представлений, которая предполагается для всех $p\geq2$ и доказана при $p=2$, приводит к отождествлению центров квантовой группы и логарифмической конформной теории поля, а также к отождествлению универсальной $R$-матрицы и матрицы сплетения.