Интегрирование функций в пространстве комплексного числа измерений

Изучается аналитическое продолжение по размерности интегралов изотропных функций $I(\nu)=\int f(x_1,\dots,x_n)d^\nu x_1\dots d^\nu x_n$, т.е. таких, что $f(Ux_1,\dots,Ux_n)=f(x_1,\dots,x_n)$ для любого ортогонального преобразования $U\in O(\nu)$. Основной результат статьи состоит в доказательстве того, что если $f$ является $C^\infty$-гладкой быстро убывающей функцией, $f \in \mathscr S$, то величина $I(\nu)$ является целой функцией $\nu$. Оценивается ее порядок как обобщенной функции над пространством $\mathscr S$ для разных комплексных значений $\nu$. Устанавливается теорема единственности аналитического продолжения $I(\nu)$. Сходные утверждения доказываются для оператора интегрирования по части переменных. Рассматривается аналитическое продолжение по размерности оператора преобразования Фурье.