Эквивалентные наборы решений уравнения Клейна–Гордона в постоянном электрическом поле

Приведена развернутая аргументация в пользу выбора in- и out-состояний (среди решений волнового уравнения с одномерным потенциалом), принятого автором ранее. В этой связи изучены нестационарные и “стационарные” семейства полных наборов решений уравнения Клейна–Гордона в постоянном электрическом поле. Нестационарный набор $\psi_{p_v}$ состоит из решений с квантовым числом $p_v=p^0v-p_3$. Его можно получить из нестационарного набора $\psi_{p_3}$ с квантовым числом $p_3$ с помощью буста вдоль оси $x_3$ (вдоль направления электрического поля) со скоростью $-v$. Изменением калибровки решения из всех наборов приводятся к одному и тому же потенциалу без изменения квантовых чисел. При этом преобразования решений одного набора (с квантовым числом $p_v$) в решения другого набора (с квантовым числом $p_{v'}$) обладают групповыми свойствами. “Стационарные” решения и наборы имеют те же свойства, что и нестационарные, и могут быть получены из стационарных решений с квантовым числом $p^0$ с помощью того же самого буста. Оказывается, что каждый набор можно получить из любого другого набора с помощью калибровочного преобразования. Таким образом, все наборы эквивалентны, и классификация (т.е. приписывание знака частоты и индексов in и out) в каждом наборе задается классификацией в наборе $\psi_{p_3}$, которая очевидна.