Теория возмущений для двухчастичного оператора Шредингера на одномерной решетке

Рассматривается двухчастичный оператор Шредингера $H(k)$ на одномерной решетке $\mathbb Z$. Оператор $H(\pi)$ имеет бесконечное число собственных значений $z_m(\pi)=\hat v(m)$, $m\in\mathbb Z_+$. Если потенциал $\hat v$ возрастает на $\mathbb Z_+$, то из этих собственных значений только $z_0(\pi)$ является простым, а остальные двухкратными. Доказано, что двухкратные собственные значения $z_m(\pi)$, $m\in\mathbb N$, оператора $H(\pi)$ расщепляются на два невырожденных собственных значения $z_m^-(k)$ и $z_m^+(k)$ при малых изменениях $k\in(\pi-\delta,\pi)$. Установлено, что $z_m^-(k)<z_m^+(k)$ и получена оценка величины $z_m^+(k)-z_m^-(k)$ при $k\in(\pi-\delta,\pi)$. Собственные значения $z_0(k)$ и $z_1^-(k)$ возрастают на $[\pi-\delta,\pi]$. Если $(\Delta\hat v)(m)>0$, то этим свойством обладает и $z_m^\pm(k)$ при $m\geqslant 2$.