Полнота гамильтонианов Эно–Эйлеса третьей и четвертой степеней

Гамильтониан Эно–Эйлеса четвертой степени удовлетворяет тесту Пенлеве только для четырех наборов значений констант. Только для одного из этих наборов, когда данная система тождественна редукции бегущей волны системы Манакова, она была явно проинтегрирована Войцеховским, тогда как система при остальных трех наборах до сих пор не была проинтегрирована в общем случае $(\alpha,\beta,\gamma)\neq(0,0,0)$. Нами проинтегрирована система в этих трех случаях с помощью построения бирационального преобразования к двум уравнениям четвертого порядка первой степени в классификации Косгроува таких полиномиальных уравнений, которые обладают свойством Пенлеве. Это преобразование включает стационарную редукцию различных дифференциальных уравнений в частных производных. Результат таков же, как и для трех кубичных гамильтонианов Эно–Эйлеса, а именно, во всех четырех случаях четвертой степени общее решение является мероморфным и гиперэллиптическим рода два. Отсюда следует, что нельзя добавить никакого дополнительного автономного члена ни к кубичному гамильтониану, ни к гамильтониану четвертой степени без разрушения интегрируемости Пенлеве (свойства полноты).