Точные решения и перемешивание в одной алгебраической динамической системе

Пусть $\mathcal A$ – матрица размера $n\times n$ с элементами $a_{ij}$ из поля $\mathbb C$. Рассмотрим следующие две инволютивные операции на таких матрицах: матричное обращение $I\colon\mathcal A\mapsto\mathcal A^{-1}$ и поэлементное, или адамарово, обращение $J\colon a_{ij}\mapsto a_{ij}^{-1}$. Мы изучаем алгебраическую динамическую систему, порожденную итерациями произведения $J\circ I$. При $n\le4$ мы строим полное решение этой системы, причем для $n=4$ оно получается с помощью анзаца в тета-функциях. При $n\ge5$ тот же анзац дает частные решения. Они описываются целочисленным линейным преобразованием произведения двух одинаковых комплексных торов. В результате получается динамическая система с перемешиванием, описываемым явными формулами.