Статистические суммы матричных моделей как первый пример специальных функций теории струн. Эрмитова одноматричная модель с матрицами конечного размера

Хотя статистическими суммами матричных моделей не исчерпывается полный набор $\tau$-функций, возникающих в теории струн, они являются элементарными блоками для построения многих других $\tau$-функций и, по-видимому, правильно улавливают фундаментальную природу квантовой гравитации и теории струн. Мы предлагаем рассматривать статистические суммы матричных моделей в качестве новых специальных функций. Это означает, что они должны быть исследованы и представлены в некоторой стандартной форме безотносительно к конкретным применениям. В то же время таблицы и перечни свойств должны быть достаточно полны, для того чтобы исключить появление неожиданных особенностей в новых приложениях. Решение такой задачи требует значительных усилий, и данная статья является лишь первым шагом в этом направлении. Мы ограничимся рассмотрением одноматричной эрмитовой модели с матрицами конечного размера и сконцентрируем внимание в основном на структуре фаз и ветвей, которая возникает при рассмотрении статистической суммы как $D$-модуля. Мы обсудим роль препотенциала Качазо–Интрилигатора–Вафы и Дийкграафа–Вафы (который порождает некоторый базис в линейном пространстве решений условий Вирасоро, хотя понимание того, чем и как этот базис выделен, отсутствует) и вычислим несколько первых многопетлевых корреляционных функций, которые обобщают полукруговое распределение на случай полиследовых и непланарных корреляционных функций.