Прямое доказательство сохранения энергии для автоморфного волнового уравнения

В задаче рассеяния на фундаментальной области модулярной группы резонансы связаны с нулями $\zeta$-функции Римана в критической полосе [1]. Поэтому скорость убывания энергии в решении, даваемом рядом Эйзенштейна, на трансляционно-инвариантном подпространстве определяется расположением нулей $\zeta$-функции. Рассчитывать на убывание энергии можно только при условии взаимной компенсации членов ряда [2]. Поэтому представлял интерес вопрос о соответствующих компенсациях в более простой ситуации во всем пространстве.