Численные вычисления интегралов по путям на римановых поверхностях рода $N$

Настоящая статья является продолжением работ Фореста и Ли [1, 2]. В работах [1, 2] было показано, что функциональная теория периодических солитонных решений реализуется на римановых поверхностях $\mathfrak R$ рода $N$, причем фундаментальную роль играют интегралы по путям на $\mathfrak R$. Цель данной работы состоит в разработке вычислительного алгоритма для интегралов вида
$$ \displaystyle \int _{\gamma }\,f(z)\frac {dz}{R(z)}\qquad \text {или}\qquad \displaystyle \int _{\gamma }\, f(z)R(z)\,dz, $$
где $f(z)$ – произвольная однозначная аналитическая функция на комплексной плоскости $\mathbf C$, а $R(z)$ – двузначная на $\mathbf C$ функция вида
$$ R^2(z)=\displaystyle \prod ^{2N+\delta }_{k=1}\,(z-z_0(k)),\qquad \delta =0\quad \text {или}\quad 1,$$
где $\bigl \{z_0(k),1\le k\le 2N+\delta \bigr \}$ – несовпадающие комплексные числа, играющие роль точек ветвления римановой поверхности $\Re =\bigl \{(z,R(z))\bigr \}$ рода $N-1+\delta$. Путь интегрирования $\gamma$ непрерывен на поверхности $\Re$. Вычислительный алгоритм разработан для пакета “Mathematica” [3].