Обобщенное преобразование Бореля и множители Стокса

Предлагается новый подход к комплексному ВКБ-методу для матричных линейных дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами. Сущность нашего метода, представляющего собой дальнейшее развитие хорошо известного метода суммирования по Борелю (см. [1, 2], а также [3, 4]), состоит в следующем. Известно, что формальное ВКБ-решение уравнения может быть представлено в виде произведения экспоненциального множителя на факториально расходящийся степенной ряд. Оказывается, что этому формальному ряду может быть взаимно однозначно сопоставлена некоторая функция, аналитическая на римановой поверхности. Эта функция аналогична классическому преобразованию Бореля. Многие свойства истинного решения могут быть исследованы с помощью этого преобразования. В частности, в терминах обобщенного преобразования Бореля можно привести явные выражения (формулы) для так называемых коэффициентов связи или множителей Стокса. Мы представляем здесь формулы для обобщенного преобразования Бореля, которые оказываются привязанными к исходному уравнению, и формулы для множителей Стокса в общем случае. Оказывается, что имеется существенное различие между уравнением второго порядка, например классическим уравнением Шредингера, и уравнениями третьего или более высоких порядков, которое, насколько нам известно, ранее в литературе не отмечалось. Наш метод может найти применение в спектральной теории и теории рассеяния.