Интегрируемые и неинтегрируемые случаи уравнений Лакса с источником

Рассмотрено уравнение Кортевега–де Фриза с источником в виде интеграла Фурье по собственным функциям так называемого производящего оператора. Показано, что имеются следующие три возможности, зависящие от выбора базиса собственных функций: 1) эволюционные уравнения для данных рассеяния неинтегрируемы; 2) эволюционные уравнения для данных рассеяния интегрируемы, но решение задачи Коши для уравнения Кортевега–де Фриза с источником при некотором $t'>t_0$ выходит из класса функций, убывающих достаточно быстро при $x\to \pm \infty$; 3) эволюционные уравнения для данных рассеяния интегрируемы и решение задачи Коши для уравнения Кортевега–де Фриза с источником существует при всех $t>t_0$. Все эти возможности широко распространены и встречаются в других уравнениях Лакса с источником.