Квазиклассические асимптотики Маслова с комплексными фазами. I. Общий подход

Изложена конструкция квазиклассических асимптотик с комплексными фазами для многомерных спектральных задач (скалярных, векторных, с операторнозначным символом), отвечающих как классически интегрируемым, так и классически неинтегрируемым гамильтоновым системам. В первом случае системы допускают семейства инвариантных лагранжевых торов (полной размерности, совпадающей с размерностью $n$ конфигурационного пространства), квантование которых по правилу Бора–Зоммерфельда с учетом индекса Маслова дает квазиклассические серии в области больших квантовых чисел. В неинтегрируемом случае семейств полномерных лагранжевых торов нет. В то же время у таких систем в области регулярного (не хаотического) движения существуют инвариантные (неполномерные) лагранжевы торы размерности $k<n$. Излагаемая конструкция сопоставляет семействам таких торов спектральные серии, охватывающие область “средних” квантовых чисел. Эта конструкция включает, в частности, новые условия квантования типа Бора–Зоммерфельда, в которых вместо индекса Маслова возникают другие характеристики этих торов. Различные приложения, а также обобщения теории на группы Ли будут изложены в последующих частях работы.